Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，判断函数的单调性；

（Ⅱ）当时，证明：.（为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）函数的定义域为.

.

①当时，.

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减.

②当时，.

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

③当时，.

易知恒成立，函数在上单调递增；

④当时，.

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

综上，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在上单调递增；

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）当时，不等式化为.

记，则.

显然在上单调递增，

且，.

所以在上有唯一的零点，且.

所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.

由，即，得，

所以 ，

而易知函数在上单调递减，

所以，

所以.

所以，即.