Question

【题目】已知抛物线与轴交于点,直线与抛物线交于点，两点．直线,分别交椭圆于点、（,与不重合）

(1)求证：；

(2)若,求直线的斜率的值；

(3)若为坐标原点,直线交椭圆于，，若,且,则是否为定值？若是,求出定值；若不是,请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)是定值,为定值10.

【解析】

(1) 直线和抛物线方程联立,根据根与系数关系、斜率公式可以计算出,也就证明出；

(2)设出直线的斜率,直线的斜率,求出它们的直线方程,通过解一元二次方程组求出,的坐标,最后利用面积公式求出的表达式,同理求出的表达式,最后求出直线的斜率的值；

(3) 设,,根据余弦定理和,可以得到又,.通过对两个等式进行移项相乘和两个等式相加,最后可以求出的值为定值.

解：(1)由题意知,直线的方程为．

由得,

设，，则，是上述方程的两个实根，

于是,．

又点的坐标为，

所以

故,即．

(2)设直线的斜率为，则直线的方程为，

由，解得，或，则点的坐标为．

又直线的斜率为，同理可得点的坐标为．

于是，．

由得,

解得或，则点的坐标为．

又直线的斜率为,同理可得点的坐标．

于是,．

因此，．

由题意知,解得或．

又由点,的坐标可知,,所以．

(3)设,,四边形为平行四边形，

由余弦定理有,

,

两式相加得．

又．

又,，

上面两式移项相乘得,

上面两式相加得．

所以．

因此为定值10．