Question

16．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，A₁A=AB=AC，D是AB中点．
（1）记平面B₁C₁D∩平面A₁C₁CA=l，在图中作出l，并说明画法；
（2）求直线l与平面B₁C₁CB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由面面平行的性质可知平面B₁C₁D与平面ABC的交线与B₁C₁平行，故只需过D作BC的平行线交AC于E，则C₁E即为l；
（2）以A为坐标原点，以AA₁，AB，AC为坐标轴建立空间直角坐标系，设AB=2，求出$\overrightarrow{{C}_{1}E}$和平面B₁C₁CB的法向量$\overrightarrow{n}$的坐标，则直线l与平面B₁C₁CB所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{C}_{1}E}$＞|．

解答 解：（1）取AC中点E，连结DE，C₁E，则直线C₁E为平面B₁C₁D与平面A₁C₁CA的交线l
（2）以A为坐标原点，以AA₁，AB，AC为坐标轴建立空间直角坐标系A-xyz，
设AB=AC=AA₁=2，则B（2，0，0），B₁（2，2，0），C（0，0，2），C₁（0，2，2），E（0，0，1）．
∴$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=（0，-2，-1），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，2，0），$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，2）．
设平面BB₁C₁C的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2y=0}\\{-2x+2z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}E}$=-1，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{{C}_{1}E}$|=$\sqrt{5}$．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{C}_{1}E}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}E}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{{C}_{1}E}|}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴直线l与平面B₁C₁CB所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本意考查了面面平行的性质，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．