Question

6．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F₁（-c，0），F₂（c，0）为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF₁|+|MF₂|=4，过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为3．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）是否存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个不同交点A，B，且$\overrightarrow{OA}$丄$\overrightarrow{OB}$，若存在，请求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知求得a，再由椭圆通径长得到关于a，b的方程，联立求得b，则椭圆方程可求；
（2）当圆的切线AB的斜率不存在时，设A（x₁，y₁），则B（x₁，-y₁），由$\overrightarrow{OA}$丄$\overrightarrow{OB}$，得到x₁，y₁的关系，代入椭圆方程求得圆的半径，得到圆的方程；当圆的切线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，由圆心到直线的距离等于圆的半径得到k与m的关系，再联立直线方程与椭圆方程，利用$\overrightarrow{OA}$丄$\overrightarrow{OB}$得到关于k，m的另一方程，两式结合求得圆的半径，得到圆的方程，最后说明存在以原点为圆心的圆满足题设条件，圆的方程为${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{12}{7}$．

解答 解：（1）由题知|MF₁|+|MF₂|=4，得a=2，…（2分）
又由$\frac{2{b}^{2}}{a}=3$，得$b=\sqrt{3}$．…（4分）
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；…（5分）
（2）假设存在以原点为圆心，r为半径的圆．
当圆的切线AB的斜率不存在时，设A（x₁，y₁），则B（x₁，-y₁），
∵$\overrightarrow{OA}$丄$\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即${{x}_{1}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}=0$，
∴${{x}_{1}}^{2}={{y}_{1}}^{2}$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得${{x}_{1}}^{2}=\frac{12}{7}$．
此时${r}^{2}={{x}_{1}}^{2}=\frac{12}{7}$，圆的方程为${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{12}{7}$．…（7分）
当圆的切线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，
则$r=\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，${r}^{2}=\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}+1}$，①…（8分）
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，整理得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$ 
又∵$\overrightarrow{OA}$丄$\overrightarrow{OB}$，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}=0$，…（10分）
即4（1+k²）（m²-3）-8k²m²+4k²m²+3m²=0，化简得${m}^{2}=\frac{12}{7}（{k}^{2}+1）$，②
由①②求得${r}^{2}=\frac{12}{7}$．由于${r}^{2}=\frac{12}{7}＜3={b}^{2}$，即△＞0．
∴所求圆的方程为${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{12}{7}$．
综上，存在以原点为圆心的圆满足题设条件，圆的方程为${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{12}{7}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，考查推理论证能力与计算能力，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．