题目内容
如图，
、
为圆柱
的母线，
是底面圆
的直径，
、
分别是、
的中点，
．
（1）证明：
；
（2）求四棱锥
与圆柱的体积比；
（3）若
，求
与面
所成角的正弦值．
、为圆柱的母线，是底面圆的直径，、分别是、的中点，．（1）证明：
；（2）求四棱锥
与圆柱的体积比；（3）若
，求与面所成角的正弦值．解：（1）证明：连结
，
.
分别为
的中点，∴
.
又
，且
.∴四边形
是平行四边形，
即
. ∴
. ………………………4分
（2）由题
，且由（1）知
.∴
，∴ 
，∴
.
因是底面圆的直径，得
，且
，
∴
，即
为四棱锥的高．设圆柱高为
，底半径为
，
则
，
∴
：
. ………………………9分
（3）解一：由(1)(2)可知，可分别以
为坐标轴建立空间直角标系，如图
设
，则
，
，
，从而
，
，由题，
是面
的法向量，设所求的角为
.
则
. …………………14分
解二：作过
的母线
，连结
，则是上底面圆
的直径，连结
，
得
，又
，∴
，连结
，
则
为与面所成的角，设，则
，
.……12分
在
中，
，.分别为的中点，∴. 又
，且.∴四边形是平行四边形，即
. ∴. ………………………4分（2）由题
，且由（1）知.∴，∴ ，∴. 因
是底面圆的直径，得，且，∴
，即为四棱锥的高．设圆柱高为，底半径为，则
，∴
：. ………………………9分（3）解一：由(1)(2)可知，可分别以
为坐标轴建立空间直角标系，如图设
，则，，，从而，，由题，是面的法向量，设所求的角为. 则
. …………………14分解二：作过
的母线，连结，则是上底面圆的直径，连结，得
，又，∴，连结，则
为与面所成的角，设，则，.……12分在
中，略
练习册系列答案
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中
，
是
的中点，
，垂足为
.求证：
.
，M、N分别为DE与DB的中点，且MN=1.
中，
，
，
为线段
的中线，将△
沿
直线
翻折成△
，使平面
，
为线
段
的中点.
∥平面
为线段
与平面
中，
，
，则
两点间的球面距离为
的底面是正方形，侧棱
平面 
，且
，则异面直线
所成角的余弦值为（ ）
面BDE，并说明理由。