Question

如图，两矩形ABCD，ABEF所在平面互相垂直，DE与平面ABCD及平面ABEF所成角分别为，M、N分别为DE与DB的中点，且MN=1.
(1) 求证：MN丄平面ABCD
(2) 求线段AB的长；
(3) 求二面角A—DE—B的平面角的正弦值.

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD平面ABEF＝AB
EB⊥AB ∴EB⊥平面ABCD   又MN∥EB     
∴MN⊥面ABCD．                                             （3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠EDB为DE与平面ABCD所成的角   ∴∠EDB＝30^o
又在Rt△EBD中，EB＝2MN＝2，∠EBD＝90^o   ∴DE＝
连结AE，可知∠DEA为DE与平面ABEF所成的角 ∴∠DEA＝45^o（5分）
在Rt△DAE中，∠DAE＝90^o   ∴AE＝DE    cos∠DEA＝2
在Rt△ABE中，．                 （7分）

（Ⅲ）方法一：过B作BO⊥AE于O点，过O作OH⊥DE于H，连BH
∵AD⊥平面ABEF    BO面ABEF
∴BO⊥平面ADE   ∴OH为BH在平面ADE内的射影
∴BH⊥DE  即∠BHO为所求二面角的平面角 （9分）
在Rt△ABE中，BO＝
在Rt△DBE中，由BH·DE＝DB·OE得BH＝
∴sin∠BHO＝

略