Question

7．已知向量$\overrightarrow a=（{sin（{2x+\frac{π}{6}}），1}）$，$\overrightarrow b=（{\sqrt{3}，cos（{2x+\frac{π}{6}}）}）$，函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，若$f（A）=\sqrt{3}，sinC=\frac{1}{3}，a=3$，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），从而可得2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，从而解得；
（Ⅱ）化简可得A=$\frac{π}{6}$；再由sinC=$\frac{1}{3}$可得C＜$\frac{π}{6}$，cosC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，从而利用正弦定理求解．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
当2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
即kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，（k∈Z），
函数f（x）单调递减，
故函数f（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，（k∈Z）；
（Ⅱ）f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴2A+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{3}$或2A+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{2π}{3}$，
∴A=kπ或A=kπ+$\frac{π}{6}$，（k∈Z）；
又∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{6}$；
∵sinC=$\frac{1}{3}$，C∈（0，π），sinA=$\frac{1}{2}$，
∴C＜$\frac{π}{6}$，cosC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sinB=sin（A+C）=$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$，
∴b=$\frac{3sinB}{sinA}$=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平面向量的应用及三角恒等变换的应用，同时考查了解三角形的应用．