题目内容
已知函数f（x）=2
sinxcosx+2cos2x，△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=2
．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值时相应x值的集合；
（2）若f（A）=2，b+c=6，求△ABC的面积．
| 3 |
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（1）求f（x）的最大值及取得最大值时相应x值的集合；
（2）若f（A）=2，b+c=6，求△ABC的面积．
考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形
分析：（1）首先根据三角函数的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出最值和对应的区间．
（2）直接利用（1）的结论，进一步利用余弦定理求出bc的值，进一步求出三角形的面积．
（2）直接利用（1）的结论，进一步利用余弦定理求出bc的值，进一步求出三角形的面积．
解答：
解：（1）f(x)=
sin2x+cos2x+1
=2(
sin2x+
cos2x)+1=2sin(2x+
)+1
∴f(x)max=3，此时2x+
=2kπ+
，k∈Z
∴f(x)max=3，x的取值集合为{x|x=kπ+
，k∈Z}
（2）f(A)=2，即sin(2A+
)=
由
＜2A+
＜
∴2A+
=
，即A=
在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-bc
又b+c=6，a=2
∴12=（b+c）2-3bc=36-3bc，
bc=8
所以S△ABC=
bcsinA=2
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=2(
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴f(x)max=3，此时2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴f(x)max=3，x的取值集合为{x|x=kπ+
| π |
| 6 |
（2）f(A)=2，即sin(2A+
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
由
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 13π |
| 6 |
∴2A+
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| π |
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在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-bc
又b+c=6，a=2
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∴12=（b+c）2-3bc=36-3bc，
bc=8
所以S△ABC=
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点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的最值，余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用．属于基础题型．
练习册系列答案
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设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，3，4}，B={3，5}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）| A、{2，3} | B、{1，4} |
| C、{5} | D、{6} |
设x＞0，则y=3+x+
的最小值是（ ）
| 1 |
| x |
A、3+2
| ||
| B、3 | ||
| C、5 | ||
| D、无最小值 |
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