题目内容

【题目】如图，把长为6，宽为3的矩形折成正三棱柱，三棱柱的高度为3，矩形的对角线和三棱柱的侧棱、的交点记为.

（1）在三棱柱中，若过三点做一平面，求截得的几何体的表面积；

（2）求三棱柱中异面直线与所成角的余弦值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由操作可知，该正三棱柱的底面是边长为2的正三角形，正三棱柱的高为3.所求几何体的表面积为各面的面积之和，利用表面积公式求解即可；

（2）延长到H，使，连结，可以证明出，所以异面直线与所成的角即为（或其补角），利用余弦定理求值即可.

（1）由操作可知，该正三棱柱的底面是边长为2的正三角形，正三棱柱的高为3.所求几何体的表面积为各面的面积之和.

又

又在三角形中，

∴

故

（2）延长到H，使，连结，所以有平行四边形的性质可知

，所以异面直线与所成的角即为（或其补角）

在中，，

由余弦定值得

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