Question

下列各函数：①y=x+

1

x

②y=sinx+

1

sinx

，x∈(0，

π

2

)③y=

x2+3

x2+2

④y=ex+

4

ex

-2
其中最小值为2的函数有

④

．（写出符合的所有函数的序号）

Answer 1

分析：根据基本不等式成立的条件“一正而定三相等”．依次分析4个函数，对于①不符合x为正值，对于②③，不符合等号成立的条件，都不符合题意；对于④，令t=e^x＞0，易得t+

4

t

的最小值为4，即可得y=ex+

4

ex

-2的最小值为2，符合题意，即可得答案．

解答：解：根据基本不等式的性质，当t＞0时，t+

m

t

≥2

t• m t

=2

m

（m＞0），当且仅当t=

m

t

，即t=

m

时等号成立；依次分析4个函数可得，
①：当x＜0时，y=x+

1

x

为负值，最小值不为2，不符合题意；
②：由基本不等式的性质可得，令t=sinx，由x∈（0，

π

2

），则t∈（0，1），即sinx不可能等于

1

sinx

，则y=sinx+

1

sinx

取不到最小值2，不符合题意；
③y=

x2+3

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

，但

x2+2

≥

2

＞1，即

x2+2

不可能等于

1

x2+2

，则y=

x2+2

+

1

x2+2

也取不到最小值2，不符合题意；
④y=ex+

4

ex

-2，令t=e^x＞0，y=t+

4

t

-2≥2

t• 4 t

-2=2，且当x=0时，t=1，y=t+

4

t

-2=2等号成立，符合题意；
故答案为④．

点评：本题考查基本不等式的运用与性质，注意基本不等式成立的条件“一正而定三相等”即可．