Question

20．已知F₁和F₂是两个定点，椭圆C₁与等轴双曲线C₂（实轴长等于虚轴长）都以F₁、F₂为焦点，点P是C₁与C₂的一个交点，且∠F₁PF₂=90°，则椭圆C₁的离心率是$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

Answer 1

分析 利用椭圆、双曲线的定义，求出|PF₁|，|PF₂|，结合∠F₁PF₂=90°，利用勾股定理，建立方程，即可求出椭圆的离心率e．

解答 解：设椭圆的长半轴长为a₁，双曲线的实半轴长为a₂，焦距为2c，
|PF₁|=m，|PF₂|=n，且不妨设m＞n，椭圆的离心率为e，
由m+n=2a₁，m-n=2a₂得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂．
又∠F₁PF₂=90°，由勾股定理可得4c²=m²+n²=2a₁²+2a₂²，
∴$\frac{1}{{e}^{2}}$+$\frac{1}{2}$=2，
解得e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查椭圆、双曲线的定义与性质，考查离心率公式和勾股定理的运用，考查运算能力，属于中档题．