Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m．
（1）求二面角C₁-DB-C的正切值；
（2）试确定m，使得直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3．

Answer 1

【答案】分析：解法一（几何法）（1）连AC，设AC∩BD=O，连接OC，OC₁，可得∠COC₁即为二面角C₁-DB-C的平面角，解Rt△COC₁，即可得到二面角C₁-DB-C的正切值．
（2）设AP与面BDD₁B₁交于点G，连OG，可得∠AGO即为AP与面BDD₁B₁所成的角，解Rt△AOG，即可得到一个关于m的方程，解方程即可得到满足条件的m的值．
解法二（向量法）（1）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C₁DB和平面DBC的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C₁-DB-C的正切值；
（2）分别求出直线AP的方向向量与平面BDD₁B₁的法向量，根据根据直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3，构造一个关于m的方程，解方程即可得到满足条件的m的值．
解答： 解法一（几何法）：
解：（1）如图，连AC，设AC∩BD=O，连接OC，OC₁，
则AC⊥BD，CC₁⊥BD，
∴BD⊥平面CC₁O，
∴BD⊥CC₁，
故∠COC₁即为二面角C₁-DB-C的平面角
在Rt△COC₁中，CC₁=1，CO=
则tan∠COC₁==
故二面角C₁-DB-C的正切值为
（2）设AP与面BDD₁B₁交于点G，连OG，
因为PC∥面BDD₁B₁，而BDD₁B₁∩面APC=OG，
故OG∥PC，
所以OG=PC=．
又AO⊥DB，AO⊥BB₁，
所以AO⊥面BDD₁B₁，
故∠AGO即为AP与面BDD₁B₁所成的角
在Rt△AOG中，tan∠AGO==3
即m=．?
故当m=时，直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3．?
解法二（向量法）
解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，1，0），P（0，1，m），C（0，1，0），D（0，0，0），B₁（1，1，1），D₁（0，0，1）?
则=（0，0，1）为平面DBC一个法向量，
设=（x，y，z）为平面C₁DB的一个法向量，则
即
则=（1，-1，1）
设二面角C₁-DB-C的平面角为θ
则cosθ==
则sinθ=，tanθ=
即二面角C₁-DB-C的正切值为
（2）∵=（-1，1，0），=（0，0，1），?
=（-1，1，m），=-1，1，0），?
又由•=0，•=0知，为平面BB₁D₁D的一个法向量．?
设AP与平面BB₁D₁D所成的角为θ，?
则sinθ=cos（-θ）==
依题意有=，?
解得m=，??
故当m=时，直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3．
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面所成的解，其中解法一的关键是找到线面夹角和二面角的平面角，将空间线面夹角问题和二面角问题转化为解三角形问题；而解法二的关键是建立空间坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，将空间线面夹角问题和二面角问题转化为向量夹角问题．