Question

如图，在棱长都相等的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别为AA₁，B₁C的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁C⊥平面BDE．

Answer 1

证明：（1），
∵G，E分别为CB，CB₁的中点，
∴EG∥BB₁，且，
又∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴EG∥AD，EG=AD
∴四边形ADEG为平行四边形．
∴AG∥DE
∵AG?平面ABC，DE?平面ABC，
所以 DE∥平面ABC．
（2）由可得，取BC中点G
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴BB₁⊥平面ABC．
∵AG?平面ABC，
∴AG⊥BB₁，
∵G为BC的中点，AB=AC，
∴AG⊥BC∴AG⊥平面BB₁C₁C，
∵B₁C?平面BB₁C₁C，
∴AG⊥B₁C，
∵AG∥DE
∴DE⊥B₁C，
∵BC=BB₁，B₁E=EC
∴B₁C⊥BE，
∵BE?平面BDE，DE?平面BDEBE∩DE=E，
∴B₁C⊥平面BDE．
分析：（1）取BC中点G，连接AG，EG，欲证直线DE∥平面ABC，只需证明DE平行平面ABC中的一条直线即可，由四边形ADEG为平行四边形，可知AG∥DE，AG?平面ABC，DE?平面ABC，问题得证．
（2）取BC的中点G，判断三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，BB₁⊥平面ABC，再证明B₁C⊥BE，可证得：B₁C⊥平面BDE．
点评：本题主要考查了证明线面平行的方法、空间的线面平行，线线垂直的证明，充分考查了学生的逻辑推理能力，空间想象力，以及识图能力．