题目内容
【题目】已知椭圆E：
的焦距为2
，一条准线方程为x=
，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P，Q在的椭圆上，且点P在第一象限．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若点P，Q关于坐标原点对称，且PQ⊥AB，求四边形ABCD的面积；
（3）若AP，BQ的斜率互为相反数，求证：PQ斜率为定值．
【答案】（1）
（2）
（3）见证明
【解析】
（1）由焦距得c，再由准线方程结合a2=b2+c2，可得椭圆方程；（2）
，由题意可得kPQ=2，即直线PQ方程为y=2x，与椭圆方程联立解得|PQ|，可得四边形ABCD的面积；（3）设直线AP的斜率为k（k＜0），则直线AP方程y=k（x-2），与椭圆方程联立得P点坐标，利用直线AN斜率与AM斜率互为相反数，将k换为-k，可求N的坐标，再利用斜率计算公式即可得出PQ斜率为定值.
(1)由题意可得：
，
，
，
解得：
，
，
.
椭圆
的标准方程为：.
(2) ，
点
关于坐标原点对称，且
，
.可得直线
的方程为：
.
联立
，解得
，
.
.
四边形
的面积
.
(3)证明：设
， 
.
设直线
的斜率为
， 
，则直线方程为：
，
联立
，化为：
，
，解得
，
.
的斜率互为相反数， 直线
的斜率为
，直线方程为：
.
联立
，化为：
，
，
.
斜率
为定值.
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