Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）讨论的单调性；

（Ⅲ）若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）

【解析】

（I）先求得函数的定义域. 当时，对函数求导，利用函数的单调区间求得函数的极值.（II）先对函数求导，通分和因式分解后，对分成等类，讨论函数的单调性.（III）由（Ⅱ）知，当时，函数在区间上单调递减，由此求得函数在区间上的最大值和最小值.由此求得的最大值，将原不等式化为左边大于这个最大值来求得实数的取值范围.

（Ⅰ）函数的定义域为，当时，函数，

，.

令，则，令，则

所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，

所以函数在处取得极小值，极小值为，无极大值

（Ⅱ）.

当时，，

令，则，令，则

所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，

当时，，

令，得.

②当时，则，

令，则，令，则

所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，

③当时，，，

函数在定义域单调递减；

④当

令.则；令，则或.

所以在区间和上单调递减，在区间上单调递增

⑤当时，，

令，则，令，则或.

所以在区间和上单调递减，在区间上单调递增.

综上，当时，函数在上单调递减，在区间上单调递增.

当时，函数在定义域单调递减；

当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；

当时，在区间上单调递减，在区间单调递增

（III）由（Ⅱ）知，当时，函数在区间上单调递减，

所以当时，，，

问题等价于：对任意的，

恒有成立，

即，因为，对任意的恒成立

又，

所以，实数的取值范围是