Question

12．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x²+y²=2，Q（3，0），圆外一动点M到圆C的切线长与|MQ|的比值为$\sqrt{2}$
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）若斜率为k且过点P（0，2）的直线l和动点M的轨迹和交于A，B两点，是否存在常数k，使$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{PQ}$共线？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y），推导出|MO|²-2=2|MQ|²，由此能求出点M的轨迹方程．
（2）设l的方程为：y=kx+2，联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}+{y^2}-12x+20=0\end{array}\right.$，得：（1+k²）x²+（4k-12）x+24=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出存在常数$k=-\frac{9}{7}$使得$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{PQ}$共线．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）设M（x，y），
∵M到圆C的切线长与|MQ|的比值为$\sqrt{2}$，
∴|MO|²-2=2|MQ|²，
∴x²+y²-2=2[（x-3）²+y²]
整理得：x²+y²-12x+20=0，
∴点M的轨迹方程为：x²+y²-12x+20=0．（4分）
（2）设l的方程为：y=kx+2，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}+{y^2}-12x+20=0\end{array}\right.$，得：（1+k²）x²+（4k-12）x+24=0，
由△＞0，得5k²+6k-3＜0（*）
∴${x_1}+{x_2}=\frac{12-4k}{{1+{k^2}}}，{y_1}+{y_2}=\frac{4+12k}{{1+{k^2}}}$，
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=（$\frac{12-4k}{1+{k}^{2}}$，$\frac{4+12k}{1+{k}^{2}}$），（8分）
∵$\overrightarrow{PQ}$=（3，-2），若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{PQ}$共线，则2（12-4k）+3（4+12k）=0，
∴$k=-\frac{9}{7}$代入（*）中符合题意．
∴存在常数$k=-\frac{9}{7}$使得$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{PQ}$共线．（12分）

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查两向量是否共线的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量知识、椭圆性质的合理运用．