Question

11．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a-x}{x}$，其中a为常数，且a＞0．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=$\frac{1}{2}$x+1垂直，求a的值；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，结合两直线垂直的条件，解方程可得a=3；
（2）对a讨论，当0＜a≤1时，当1＜a＜2时，当a≥2时，判断导数的符号，得到单调性，即可得到最小值．

解答 解：（1）f（x）的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$（x＞0），
因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=$\frac{1}{2}$x+1垂直，
所以f′（1）=-2，
即1-a=-2，解得a=3；                                      
（2）当0＜a≤1时，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，
这时f（x）在[1，2]上为增函数，
∴f（x）_min=f（1）=a-1；                                       
当1＜a＜2时，由f′（x）=0得，x=a∈（1，2），
对于x∈（1，a）有f′（x）＜0，f（x）在[1，a]上为减函数，
对于x∈（a，2）有f′（x）＞0，f（x）在[a，2]上为增函数，
∴f（x）_min=f（a）=lna；                                      
当a≥2时，f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，
这时f（x）在[1，2]上为减函数，
∴f（x）_min=f（2）=ln2+$\frac{a}{2}$-1．                            
综上所述f（x）min=$\left\{\begin{array}{l}{a-1，0＜a＜1}\\{lna，1＜a＜2}\\{ln2+\frac{a}{2}-1，a≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，结合函数的单调性，属于中档题．