Question

19．已知数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N*，n≥2），且a₁=5，则a_n=${3^n}（{n+\frac{1}{2}}）+\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 把已知数列递推式两边同时除以3ⁿ，然后利用累加法求得答案．

解答 解：由a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2），
得$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}+1-\frac{1}{{3}^{n}}$（n≥2），
∴$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}=\frac{{a}_{1}}{{3}^{1}}+1-\frac{1}{{3}^{2}}$，
$\frac{{a}_{3}}{{3}^{3}}=\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}+1-\frac{1}{{3}^{3}}$，
$\frac{{a}_{4}}{{3}^{4}}=\frac{{a}_{3}}{{3}^{3}}+1-\frac{1}{{3}^{4}}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}+1-\frac{1}{{3}^{n}}$（n≥2），
累加得：$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{{a}_{1}}{3}+（n-1）-\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{{a}_{1}}{3}+（n-1）-\frac{1}{6}+\frac{1}{2•{3}^{n}}$，
∵a₁=5，
∴${a}_{n}={3}^{n}（n+\frac{1}{2}）+\frac{1}{2}$（n≥2）．
验证n=1时上式成立，
∴${a}_{n}={3}^{n}（n+\frac{1}{2}）+\frac{1}{2}$．
故答案为：${3^n}（{n+\frac{1}{2}}）+\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．