Question

（2012•泰安一模）已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx．
（I）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）当a=2时，f（x）=x²-5x+2lnx，由f′(x)=2x-5+

2

x

，知f′（1）=2-5+2=-1，由此能够求出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（II）f′(x)=2x-(2a+1)+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

，令f′（x）=0，得x1=

1

2

，x2 =a．由此进行分类讨论，能够求出结果．

解答：解：（I）当a=2时，f（x）=x²-（2a+1）x+alnx=x²-5x+2lnx，
∴f′(x)=2x-5+

2

x

，
∴f′（1）=2-5+2=-1，
∵f（1）=1-5=-4，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：x+y+3=0．
（II）f′(x)=2x-(2a+1)+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

，
令f′（x）=0，得x1=

1

2

，x2 =a．
①当a＞

1

2

时，由f′（x）＞0，得x＞a，或x＜

1

2

，
f（x）在(0，

1

2

)，（a，+∞）是单调递增．
由f′（x）＜0，得

1

2

＜x＜a，
∴f（x）在(

1

2

，a)上单调递减．
②当a=

1

2

时，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．
③当0＜a＜

1

2

时，由f′（x）＞0，得0＜x＜a，或x＞

1

2

，
∴f（x）在（0，a），（

1

2

，+∞）上单调增加，
由f′（x）＜0，得a＜x＜

1

2

，
∴f（x）在（a，

1

2

）上单调递减．
④当a≤0时，由f′（x）＞0，得x＞

1

2

，
∴f（x）在（

1

2

，+∞）上单调递增．
由f′（x）＜0，得0＜x＜

1

2

，
∴f（x）在（0，

1

2

）上单调递减．

点评：本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的单调性的灵活运用．