Question

【题目】已知函数 。

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若在点处的切线方程为，若对任意的

恒有，求的取值范围（是自然对数的底数）。

Answer 1

【答案】(1) 当时， 在上单调递增；当时， 在上单调递增，在上单调递减；当时， 在上单调递增，在上单调递减；(2)

【解析】试题分析：

（1）求导数，分三种情况分别讨论导函数的符号，从而得到函数的单调情况。（2）根据导数的几何意义可得，从而。故由题意得对任意的恒成立。设， ，根据单调性可求得，从而可得。

试题解析：

（1）当时， ，

所以。

令，解得或，

①当时， ，所以在上单调递增；

②当时， ，列表得：

所以在上单调递增，在上单调递减；

③当时， ，列表得：

所以在上单调递增，在上单调递减。

综上可得，当时， 在上单调递增；

当时， 在上单调递增，在上单调递减；

当时， 在上单调递增，在上单调递减。

（2）因为，

所以，

由题意得，

整理得，解得

所以，

因为对任意的恒成立，

所以对任意的恒成立，

设，

则，

所以当时， 单调递减，

当时， 单调递增。

因为，

所以，

所以，

解得。

所以实数的取值范围为。