Question

点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数(a＞c＞0),求点M的轨迹.

Answer 1

解:设d是点M到直线l的距离,

根据题意,所求轨迹就是集合,由此得.

将上式两边平方并化简,得(a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²).

设a²-c²=b²,就可化成(a＞b＞0).

这是椭圆的标准方程,所以点M的轨迹是长轴、短轴分别为2a、2b的椭圆.

启示:当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(0＜e＜1)时,这个点的轨迹是椭圆.对于椭圆(a＞b＞0)上任一点P,|PF|〔F(c,0),〕与P到直线的距离的比为,这也是椭圆的一个性质.