Question

点M(x,y)与定点(3,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数,求点M的轨迹.

Answer 1

解:设d是点M到直线l:x=的距离,

根据题意,点M的轨迹就是集合,

由此得.

将上式两边平方,并化简,得16x²+25y²=400,即.所以点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、8的椭圆.

启示:椭圆的离心率为.通过此例可以看出椭圆上任意一点M到焦点F(3,0)的距离与M到直线l:x=的距离的比值为离心率e.一般地,点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数(a＞c＞0),点M的轨迹是椭圆,其方程为(b²=a²-c²).因此,椭圆可以看作动点M到定点F的距离与它到定直线的距离的比为常数e(0＜e＜1)的M的轨迹.这就是椭圆的第二定义.