Question

1．若关于x的方程2x³-3x²+a=0在区间[-2，2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-4，0]∪[1，28）
• B． [-4，28]
• C． [-4，0）∪（1，28]
• D． （-4，28）

Answer 1

分析 利用导数求得函数的增区间为[-2 0）、（1，2]，减区间为（0，1），根据f（x）在区间[-2，2]上仅有一个零点可得f（0）≠0，故$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=a-28≤0}\\{f（0）=a＞0}\\{f（1）=a-1＞0}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=a＜0}\\{f（2）=a+4≥0}\end{array}\right.$②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：设f（x）=2x³-3x²+a，则f′（x）=6x²-6x=6x（x-1），x∈[-2，2]，
令f′（x）≥0，求得-2≤x≤0，1≤x≤2 令f′（x）＜0，求得 0＜x＜1，
故函数的增区间为[-2 0）、（1，2]，减区间为（0，1），
∵若f（1）=0，则a=1，
则f（x）=2x³-3x²+1=（2x+1）（x-1）²，与提意不符合．
∴f（1）≠0
根据f（x）在区间[-2，2]上仅有一个零点，f（-2）=a-28，f（0）=a，f（1）=a-1，f（2）=a+4，
若f（0）=a=0，则f（x）=x² （2x-3），显然不满足条件，故f（0）≠0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=a-28≤0}\\{f（0）=a＞0}\\{f（1）=a-1＞0}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=a＜0}\\{f（2）=a+4≥0}\end{array}\right.$②．
解①求得1＜a≤28，解②求得-4≤a＜0，
故选：C．

点评 本题主要考查方程的根与函数的零点间的关系，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．