Question

已知数列满足：，，记(n∈N*)，为数列的前n项和.

（Ⅰ）证明数列为等比数列，并求其通项公式；

（Ⅱ）若对任意n∈N*且n≥2，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）令，证明：(n∈N*).

Answer 1

（Ⅰ）证明略（Ⅱ）的取值范围是（Ⅲ）证明略

解析:

（Ⅰ）因为，由已知可得，

.

（3分）

又，则.                                              （4分）

所以数列是首项和公比都为的等比数列，故.            （5分）

（Ⅱ）因为( n≥2).       （7分）

若对任意n∈N*且n≥2，不等式恒成立，则，故的取值范围是.（8分）

（Ⅲ）因为，则

. （10分）

当时，，即；

当时，，即；

当时，，即.                                       （12分）

所以数列的最大项是或，且，故.              （13分）