Question

10．设f（x）=e^x-e^-x-x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）已知g（x）=x²f（x）+（x+1）[f（x）+（1-a）x]+（1-a）x³．若对所有x≥0，都有g（x）≥0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，再根据基本不等式即可判断f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
（2）先化简g（x），再利用分析法，故若使g（x）≥0，只需要f（x）+x（1-a）=e^x-e^-x-ax≥0即可，构造函数h（x）=e^x-e^-x-ax，求导后，再分类讨论，求出函数的最值，即可得到参数的取值范围．

解答 解；（1）f′（x）=e^x+e^-x-1≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$-1=2-1=1＞0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．
（2）g（x）=x²f（x）+（x+1）[f（x）+（1-a）x]+（1-a）x³．
=（x²+x+1）f（x）+（1-a）[x³+x（x+1）]
=（x²+x+1）[f（x）+x（1-a）]，
显然x²+x+1＞0，故若使g（x）≥0，只需要f（x）+x（1-a）=e^x-e^-x-ax≥0即可，
令h（x）=e^x-e^-x-ax，
∴h′（x）=e^x+e^-x-a≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$-a=2-a，
①当2-a≥0时，即a≤2时，h′（x）≥0恒成立，
∴h（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴h（x）≥h（0）=0，
即g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，
②当a＞2时，则令h′（x）=0，即e^x+e^-x-a=0，可化为（e^x）²-ae^x+1=0，
解得e^x=$\frac{a±\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$
∴两根x₁=ln$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$=ln$\frac{2}{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}$＜0，舍去，x₂=ln$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$＞0，
从而h′（x）=$\frac{（{e}^{x}）^{2}-a{e}^{x}+1}{{e}^{x}}$=$\frac{（{e}^{x}-{e}^{{x}_{1}}）（{e}^{x}-{e}^{{x}_{2}}）}{{e}^{x}}$，
当0＜x＜x₂时，则${e}^{x}＞{e}^{{x}_{1}}$，e^x＜${e}^{{x}_{1}}$，
∴h′（x）＜0，
∴h（x）在[0，x₂]为减函数，
又h（0）=0，
∴h（x₂）＜0，
∴当a＞2时，h（x）≥0不恒成立，即g（x）≥0不恒成立，
综上所述a的取值范围为（-∞，2]．

点评 本题考查了导数和函数的单调性最值得关系，考查了学生的转化能力和分析能力和运算能力，属于中档题