Question

10．为了解人们对于国家新颁布的“生育二孩放开”政策的热度，现在对某市年龄在35岁的人调查，随机选取年龄在35岁的100人进行调查，得到他们的情况为：在55名男性中，支持生二孩的有40人，不支持生二孩的有15人；在45名女性中，支持生二孩的有20人，不支持的有25人．
（Ⅰ）完成下面2×2列联表，并判断有多大的把握认为“支持生二孩与性别有关”？

	支持生二孩	不支持生二孩	合计
男性	40	15	55
女性	20	25	45
合计	60	40	100

附：K²=$\frac{{n（ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d

P（K2≥k0）	0.150	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

（Ⅱ）在被调查的人员中，按分层抽样的方法从支持生二孩的人中抽取6人，再用简单随机抽样的方法从这6人中随机抽取2人，求这2人中恰好有1名男性的概率；
（Ⅲ）以上述样本数据估计总体，从年龄在35岁人中随机抽取3人，记这3人中支持生二孩且为男性的人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I）由已知可得：下面2×2列联表，计算K²=$\frac{100（40×25-20×15）^{2}}{55×45×60×40}$，即可判断出结论．
（II）在被调查的人员中，按分层抽样的方法抽取6人可得：抽取的男性4人，女性2人．再用简单随机抽样的方法从这6人中随机抽取2人，则这2人中恰好有1名男性的概率P=$\frac{{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{6}^{2}}$．
（III）由题意可得X的可能取值为：0，1，2，3．X～B$（3，\frac{2}{5}）$，可得P（X=k）=${∁}_{3}^{k}（\frac{3}{5}）^{3-k}（\frac{2}{5}）^{k}$．

解答 解：（I）由已知可得：下面2×2列联表，
K²=$\frac{100（40×25-20×15）^{2}}{55×45×60×40}$≈8.25＞7.879．
∴有99.5%的把握认为“支持生二孩与性别有关”．
（II）在被调查的人员中，按分层抽样的方法从支持生二孩的人中抽取6人，抽取的男性4人，女性2人．
再用简单随机抽样的方法从这6人中随机抽取2人，则这2人中恰好有1名男性的概率P=$\frac{{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$．
（III）由题意可得X的可能取值为：0，1，2，3．
X～B$（3，\frac{2}{5}）$，可得P（X=k）=${∁}_{3}^{k}（\frac{3}{5}）^{3-k}（\frac{2}{5}）^{k}$，可得P（X=0）=$\frac{27}{125}$，P（X=1）=$\frac{54}{125}$，P（X=2）=$\frac{36}{125}$，P（X=3）=$\frac{8}{125}$．
可得：EX=3×$\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了分层抽样性质、二项分布列的性质及其数学期望、独立性检验思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．