Question

12．在一次射击比赛中，8个泥制的靶子挂成三列，其中两列各挂3个，一列挂2个，一射手射击时只准击碎三列靶子任一列中最下面的一个，若每次射击都遵循这条原则，则击碎8个靶子可以有多少种不同的次序？

Answer 1

分析 打完8个靶子的所有不同次序相当于8个字母排序，但要求 A ₁在 A ₂之前，A ₂在 A ₃之前，B ₁在 B ₂之前，C ₁在 C ₂之前，C ₂在 C ₃之前，例如 B ₁A ₁A ₂C ₁B ₂C ₂A ₃C ₃，这是其中一个次序，所以这是一个定序排列问题．

解答 解：打完8个靶子的所有不同次序相当于8个字母排序，但要求 A ₁在 A ₂之前，A ₂在 A ₃之前，B ₁在 B ₂之前，C ₁在 C ₂之前，C ₂在 C ₃之前，例如 B ₁A ₁A ₂C ₁B ₂C ₂A ₃C ₃，这是其中一个次序，所以这是一个定序排列问题．
可设想一列有8个位置，其中选取3个位置放置 A ₁、A ₂、A ₃，由于 A ₁、A ₂、A ₃的次序是唯一的，所以有 C₈³种不同情形，从剩下5个位置中选取2个位置放置 B ₁，B ₂有 C₅²种情形，其余3个位置放置 C ₁，C ₂，C ₃只有一种情形．
所以，击碎8个靶子的不同次序有 C₈³•C₅²=560（种）．

点评 此题考查排列组合的实际运用，注意理解题意，合理利用两种计数原理解决问题．