Question

（12分）设各项均为正数的数列的前项和为，满足

且构成等比数列．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）证明：对一切正整数，有．

 

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）对于，令即可证明；（Ⅱ）由已知所给的递推式含有，考虑用公式，得到和的递推式，构造等差数列，进而求出数列的通项；（Ⅲ）因为是一个分式，常通过裂项相消法逐项相消，然后再通过放缩，得出结论.

试题解析：（Ⅰ）证明：由，得，即，

所以.因为，所以；

（Ⅱ）【解析】
（1）

当时， （2）

由（1）-（2）得，即

，，即，（下面需验证时的情况）

成等比数列，所以，即，解得

又由（1）知，，，

综上知（）；

数列是一个首项为1，公差为2的等差数列．，

数列的通项公式为；

（Ⅲ）证明：由（2）知，

.

考点：数列的递推公式、通项公式、；等比中项、等差数列的概念；裂项相消法求数列的前项和；放缩法证明不等式等知识.