Question

（08年宝鸡市质检二文） 如图：ABCD为正方形，ADPQ也是正方形，PD⊥平面AC，E、F依次分别为PC、BQ的中点。

    （1）证明：平面DEF⊥平面BDQ；

    （2）求直线AE与平面BDQ所成角的余弦值。

 

Answer 1

解析：（1）证明：∵平面ABCD为正方形，ADPQ也是正方形，PD⊥平面AC，

    ∴CB⊥QB，QD=DB=BQ. ∴DF⊥QB. 又 ∵CB//EF,∴EF⊥QB

    ∴BQ⊥平面DEF.∵BQ平BDQ. ∴平面DEF⊥平面BDQ.

（2）在DF上取点G，使,则G为正三角形DBQ的中心，AG⊥面BDQ，

    连AF，四边形AFED是矩形，设AE∩DF=0，则∠AOG即为所求.

    设AB=1，则AE=FD=，

    ∴AO=，

    在Rt△AGO中，