Question

13．已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m-f（-n）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，f（x）=|2x-1|+1≤6，分2x-1≥0和2x-1＜0两种情况进行分类讨论，能求出f（x）≤6的解集．
（2）f（x）=|2x-1|+1，令g（n）=f（n）+f（-n），利用分类讨论思想能求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=|2x-1|+1≤6，
当2x-1≥0时，f（x）=2x-1+1≤6，
解得$\frac{1}{2}$≤x≤3；
当2x-1＜0时，f（x）=1-2x+1≤6，
解得-2≤x＜$\frac{1}{2}$．
综上，当a=1时，不等式f（x）≤6的解集为{x|-2≤x≤3}．
（2）由（1）知f（x）=|2x-1|+1，
令g（n）=f（n）+f（-n），
则g（n）=|2n-1|+|2n+1|+2=$\left\{\begin{array}{l}{2-4n，n≤-\frac{1}{2}}\\{4，-\frac{1}{2}＜n≤\frac{1}{2}}\\{2+4n，n＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴g（n）的最小值为4，
故实数m的取值范围是[4，+∞）．

点评 本题考查不等式的解集的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．