Question

已知向量

a

=（sinωx，cosωx），

b

=（cosωx，

3

cosωx），（ω＞0），函数f（x）=

a

•

b

-

3

2

的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A，B，C，且满足b²+c²=a²-

3

bc，求f（A）的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据已知最小正周期求出ω的值，确定出函数解析式，利用正弦函数的单调性即可确定出函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA，把已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出A的度数，即可求出f（A）的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sinωxcosωx+

3

cos²ωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx=sin（2ωx+

π

3

），
∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0
∴

2π

2ω

=π，∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x+

π

3

），
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z，
则f（x）的增区间为[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）∵b²+c²=a²-

3

bc，∴b²+c²-a²=-

3

bc，
由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

- 3 bc

2bc

=-

3

2

，
∴在△ABC中，A=

5π

6

，
∴f（A）=sin（2×

5π

6

+

π

3

）=sin2π=0．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的定义域与值域，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．