Question

(本小题满分14分)   已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。

（Ⅰ）用和表示；

（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；

（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）a的最小值是；（3）见解析.

【解析】（1）由已知得，交点A的坐标为，对则抛物线在点A处的切线方程为

（2）由（1）知f(n)=,则

即知，对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到a≥

当,

>2n³+1

当n=0,1,2时，显然

故当a=时，对所有自然数都成立

所以满足条件的a的最小值是。

（3）由（1）知，则，

下面证明：

首先证明：当0<x<1时，

设函数

当

故g(x)在区间（0,1）上的最小值g(x)_min=g

所以，当0<x<1时，g(x)≥0,即得

由0<a<1知0<a^k<1(),因此，从而

               

[点评]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。