Question

某高校从参加今年自主招生考试的学生中抽取成绩排名在前80名的学生成绩进行统计，得频率分布表：

组号	分组	频数	频率
1	[200，210）	8	0.1
2	[210，220）	9	0.1125
3	[220，230）	①
4	[230，240）	10	②
5	[240，250）	15	0.11875
6	[250，260）	12	0.15
7	[260，270）	8	0.10
8	[270，280）	4	0.05

（I）分别写出表中①、②处的数据；
（II）高校决定在第6、7、8组中用分层抽样的方法选8名学生进行心理测试，并最终确定两名学生给予奖励．规则如下：假定每位学生通过心理测试获得奖励的可能性相同．若该名获奖学生来自第6组，则给予奖励1千元；若该名获奖学生来自第7组，则给予奖励2千元；若该名获奖学生来自第8组，则给予奖励3千元；记此次心理测试高校将要支付的奖金总额为X（千元），求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）利用频数之和为80，可得位置①处的数据，利用频数除以总数，可得位置②处的数据；
（II）由题意可知，第6，7，8组共有32人，抽8人，确定6，7，8组抽取的人数，可得概率，从而可求X的分布列和数学期望．

解答：解：（I）利用频数之和为80，可得位置①处的数据为14，位置②处的数据为

10

80

=0.125
（II）由题意可知，第6，7，8组共有32人，抽8人，于是在第6组抽16×

8

32

=4人；在第7组抽12×

8

32

=3人；在第8组抽4×

8

32

=1人，故X=2，3，4，5
P（X=2）=

C 2 4

C 2 8

=

3

14

；P（X=3）=

C 1 4 C 1 3

C 2 8

=

3

7

；P（X=4）=

C 1 4 + C 2 3

C 2 8

=

1

4

；P（X=5）=

C 1 3

C 2 8

=

3

28

∴X的分布列为

X	2	3	4	5
P	3 14	3 7	1 4	3 28

EX=2×

3

14

+3×

3

7

+4×

1

4

+5×

3

28

=3.25（千元）．

点评：本题考查分层抽样，考查分布列与数学期望，考查概率的计算，正确计算概率是关键．