Question

6．已知函数f（x）=4x²+2x+a+2，当x∈[1，+∞）时，f（x）≥2ax恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 问题转化为a≤$\frac{{4x}^{2}+2x+2}{2x-1}$在x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=$\frac{{4x}^{2}+2x+2}{2x-1}$，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：若x∈[1，+∞）时，f（x）≥2ax恒成立，
则a≤$\frac{{4x}^{2}+2x+2}{2x-1}$在x∈[1，+∞）恒成立，
设g（x）=$\frac{{4x}^{2}+2x+2}{2x-1}$，只需求出g（x）的最小值即可；
由g′（x）=$\frac{{8x}^{2}-8x-6}{{（2x-1）}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{3}{2}$，令g′（x）＜0，解得：1≤x＜$\frac{3}{2}$，
∴g（x）在[1，$\frac{3}{2}$）递减，在（$\frac{3}{2}$，+∞）递增，
∴g（x）_最小值=g（$\frac{3}{2}$）=7，
∴a≤7．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查函数的单调性和最值问题，是一道中档题．