Question

16．若函数g（x）=2x²+4tx-3，当x∈[-1，1]时，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 先求出函数的对称轴，通过讨论t的范围，得到函数的单调性，从而求出函数的值域．

解答 解：g（x）=2x²+4tx-3=2（x+t）²-2t²-3，
对称轴x=-t，
①当-t≤-1即t≥1时：
g（x）在[-1，1]递增，
g（x）_min=g（-1）=-4t-1，g（x）_max=g（1）=4t-1，
∴函数的值域是：[-4t-1，4t-1]；
②当-1＜-t≤0即0≤t＜1时：
g（x）在[-1，-t]递减，在（-t，1]递增，
g（x）_min=g（-t）=-2t²-3，g（x）_max=g（1）=4t-1，
∴函数的值域是：[-2t²-3，4t-1]；
③当0＜-t＜1即-1t＜0时：
g（x）在[-1，-t]递减，在（-t，1]递增，
g（x）_min=g（-t）=-2t²-3，g（x）_max=g（-1）=-4t-1，
∴函数的值域是：[-2t²-3，-4t-1]；
④当-t≥1即t≤-1时：
g（x）在[-1，1]递减，
g（x）_min=g（1）=4t-1，g（x）_max=g（-1）=-4t-1，
∴函数的值域是：[4t-1，-4t-1]．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．