Question

11．如图，已知底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，平面MNGH与直线PB和直线AC平行，点E为PD的中点，点F在CD上，且DF：FC=1：2．
（1）求证：四边形MNGH是平行四边形；
（2）求作过EF作四棱锥P-ABCD的截面，使PB与截面平行（写出作图过程，不要求证明）．
截面的定义：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形．

Answer 1

分析 （1）由直线与平面平行的性质定理推导出MH∥NG，MN∥HG，由此能证明四边形MNGH是平行四边形．
（2）连结EF，连结BD，交AC于O，连结EO、FO，平面EFO是四棱锥P-ABCD的截面，且PB∥截面EFO．

解答 证明：（1）∵平面MNGH与直线PB平行，MH?平面MNGH，NG?平面MNGH，
又MH与PB共面于平面PAB，NG与PB共面于平面PBC，
∴MH∥PB，NG∥PB，∴MH∥NG，
∵平面MNGH与直线AC平行，MN?平面MNGH，HG?平面MNGH，
又MN与AC共面于ABCD，HG与AC共面于PAC，
∴MN∥AC，HG∥AC，∴MN∥HG，
∴四边形MNGH是平行四边形．
解：（2）连结EF，连结BD，交AC于O，连结EO、FO，
则平面EFO是四棱锥P-ABCD的截面，
PB∥截面EFO．

点评 本题考查四边形是平行四边形的证明，考查使线面平行的截面的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线关系式的求法．