Question

已知函数．
（1）证明：对?x∈[1，+∞），f（x）＜g（x）恒成立；
（2）n∈N^*时，证明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定f（x）、g（x）在[1，+∞）上是增函数，可得f（x）-g（x）在[1，+∞）是减函数，从而可得结论；
（2）n为奇数时，证明成立，利用错位相减法可证结论；n为偶数时，利用放缩法可得结论．
解答：证明：（1）∵，外函数是减函数，内函数t=3^x是增函数
∴f（x）在R上递减
∵在[1，+∞）上是增函数
∴f（x）-g（x）在[1，+∞）是减函数
∴f（x）-g（x）≤f（1）-g（1）=-1＜0
（2）已证
∴（n为奇数时）
∴当n为奇数时，
由错位相减法可得：
当n为偶数时，所求
綜上，原不等式成立，即
点评：本题考查不等式的证明，考查函数的单调性，考查错位相减法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．