Question

（本题满分12分）

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，离心离为，点B是椭圆短轴的下端点. B到椭圆一个焦点的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程．

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意可知.由可得,从而可得椭圆方程. （Ⅱ）显然直线l的斜率存在，且．设直线的方程为.将直线方程与椭圆方程联立,消去整理为关于的一元二次方程.由韦达定理可得两根之和,两根之积.用中点坐标公式可得，两点的中点. 由可知,可求得的值.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）设椭圆方程为

由得:

所以椭圆C的方程为． 4分

（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，且．设直线的方程为．

由 消去并整理得． 6分

由，． 7分

设，，中点为，

得，． 9分

由，知，

所以，即． 11分

化简得，满足．所以．

因此直线的方程为． 12分

考点：1椭圆的简单几何性质;2直线与椭圆的位置关系.