Question

如图所示，已知长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，
E是棱CC₁上的点，且BE⊥B₁C.
（1）求CE的长；
（2）求证：A₁C⊥平面BED；
（3）求A₁B与平面BDE所成角的正弦值.

Answer 1

(1) CE="1" (2)证明略（3）A₁B与平面BDE所成角的正弦值为

（1） 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D—xyz.

∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），
C（0，2，0），A₁（2，0，4），
B₁（2，2，4），C₁（0，2，4），D₁（0，0，4）.
设E点坐标为（0，2，t），则=（-2，0，t），=（-2，0，-4）.
∵BE⊥B₁C，
∴·=4+0-4t=0.∴t=1，故CE=1.
（2）由（1）得，E（0，2，1），=（-2，0，1），
又=（-2，2，-4），=（2，2，0），
∴·=4+0-4=0，
且·=-4+4+0=0.
∴⊥且⊥，即A₁C⊥DB，A₁C⊥BE，
又∵DB∩BE=B，∴A₁C⊥平面BDE.
即A₁C⊥平面BED.
（3） 由（2）知=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量.又=（0，2，-4）,
∴cos〈,〉==.
∴A₁B与平面BDE所成角的正弦值为.