Question

12．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+ax和函数g（x）=e^-x，若对任意x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f′（x₁）≤g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{\sqrt{e}}{e}$-8]
• B． [$\frac{\sqrt{e}}{e}$-8，+∞）
• C． [$\sqrt{2}$，e）
• D． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{e}{2}$）

Answer 1

分析 先将问题等价为：f'（x）_max≤g（x）_max，再分别对二次函数和指数函数在相应区间上求最值．

解答 解：根据题意，要使得f'（x₁）≤g（x₂）成立，
只需满足：f'（x）_max≤g（x）_max，
而f'（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
所以，f'（x）_max=f（2）=a+8，
g（x）=e^-x，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，函数单调递减，
所以，g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=${e}^{-\frac{1}{2}}$，
因此，a+8≤${e}^{-\frac{1}{2}}$，解得a≤${e}^{-\frac{1}{2}}$-8=$\frac{\sqrt{e}}{e}$-8，
所以，实数a的取值范围为：（-∞，$\frac{\sqrt{e}}{e}$-8]，
故选：A．

点评 本题主要考查了不等式有解和恒成立的综合问题，涉及二次函数和指数函数的单调性和值域，以及导数的运算，属于中档题．