Question

7．已知正项数列{a_n}满足a₁=2且（n+1）a_n²+a_na_n+1-na_n+1²=0（n∈N^*）
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）若记b_n=$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）由（n+1）a_n²+a_na_n+1-na_n+1²=0（n∈N^*），变形得：（a_n+a_n+1）[（n+1）a_n-na_n+1]=0，由于{a_n}为正项数列，可得$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{n+1}{n}$，利用累乘法可得a_n，再利用等差数列的通项公式即可证明．
（II）利用“裂项求和方法”即可得出．

解答 （I）证明：由（n+1）a_n²+a_na_n+1-na_n+1²=0（n∈N^*），
变形得：（a_n+a_n+1）[（n+1）a_n-na_n+1]=0，
由于{a_n}为正项数列，∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{n+1}{n}$，
利用累乘法得：${a_n}=2n（n∈{N^*}）$从而得知：数列{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：${b_n}=\frac{4}{2n•2（n+1）}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
从而${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$=$1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．