Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a²+c²+ac=（ccosA+acosC）²．
（1）求B的大小；
（2）若b=$\sqrt{13}$，a+c=4，a＞c，求向量$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理化简已知等式可得cosB=-$\frac{1}{2}$，结合范围B∈（0，π），即可解得B的值．
（2）由余弦定理可解得：ac=3，结合a+c=4，a＞c，可得c=1或，a=3，如图建立坐标系，从而可求A，B，C坐标，由向量$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$即可得解．

解答 解：（1）∵a²+c²+ac=（ccosA+acosC）²．
∴由余弦定理可得：a²+c²+ac=（c×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+a×$\frac{{b}^{2}+{a}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$）²=（$\frac{2{b}^{2}}{2b}$）²=b²，解得：a²+c²-b²=-ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴解得：B=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵b=$\sqrt{13}$，a+c=4①，a＞c，B=$\frac{2π}{3}$．
∴由余弦定理可得：13=a²+c²+ac=（a+c）²-ac=16-ac，解得：ac=3②，
∴由①②可解得：c=1或3（舍去），a=3，
如图所示，
B（0，0），C（3，0），A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
得到$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{7}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
所以向量$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{\frac{10}{4}}{\frac{\sqrt{52}}{2}}$=$\frac{5\sqrt{13}}{26}$；
故向量$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影为：$\frac{5\sqrt{13}}{26}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，平面向量的数量积的运算，熟练掌握相关公式是解题的关键，属于基本知识的考查．