Question

5．现给出如下命题，其中正确的是④．（只填写相应命题的序号）
①“A，B，C，D四点不共面”是“直线AB和CD不相交”的充要条件
②“若am²≤bm²，则a≤b”的否命题为真；
③若实数x，y∈[-1，1]，则满足x²+y²≥1的概率为$\frac{π}{4}$；
④函数f（x）=2^x-x²的零点有3个．

Answer 1

分析 ①“A，B，C，D四点不共面”⇒“直线AB和CD不相交”，反之不成立，例如AB∥CD，即可判断出正误；
②原命题的否命题为“若a＞b，则am²＞bm²，”，m=0时不成立，即可判断出正误；
③若实数x，y∈[-1，1]，则满足x²+y²≥1的概率=$\frac{{2}^{2}-π×{1}^{2}}{4}$=$\frac{4-π}{4}$，即可判断出正误；
④由x=2，4时，f（x）=0，可得2，4是函数f（x）的零点，又f（0）f（-1）＜0，因此存在x₀∈（-1，0），使得f（x₀）=0，如图所示，即可判断出正误．

解答 解：①“A，B，C，D四点不共面”⇒“直线AB和CD不相交”，反之不成立，例如AB∥CD，因此“A，B，C，D四点不共面”是“直线AB和CD不相交”充分不必要条件，因此不正确；
②“若am²≤bm²，则a≤b”的否命题为“若a＞b，则am²＞bm²，”是假命题，m=0时不成立；
③若实数x，y∈[-1，1]，则满足x²+y²≥1的概率=$\frac{{2}^{2}-π×{1}^{2}}{4}$=$\frac{4-π}{4}$，因此不正确；
④函数f（x）=2^x-x²，因为x=2，4时，f（x）=0，∴2，4是函数f（x）的零点，又f（0）f（-1）＜0，因此存在x₀∈（-1，0），使得f（x₀）=0，如图所示，函数f（x）有3个零点：2，4，x₀．正确．
其中正确的是④．
故答案为：④．

点评 本题查克拉简易逻辑的判定方法、空间直线位置关系、几何概率、函数的零点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．