Question

已知定点C（-1，0）及椭圆x²+3y²=5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点，
（1）若线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程；
（2）在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1），
将y=k（x+1）代入，
消去y整理得， 
设，
则
由线段AB中点的横坐标是，得，
解得，适合①，
所以直线AB的方程为或；
（2）假设在x轴上存在点M（m，0），使为常数，
（ⅰ）当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知，， ③
所以
，
将③代入，整理得

，
注意到是与k无关的常数，从而有，
此时；
（ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，此时点A、B的坐标分别为，
当时，亦有；
综上，在x轴上存在定点，使为常数。