Question

已知双曲线W：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，其中一个焦点到相应准线间的距离为

3

2

，渐近线方程为y=±

3

x
（1）求双曲线W的方程
（2）过点Q（0，1）的直线l交双曲线W与A，B两个不同的点，若坐标原点O在以线段AB为直径的圆外，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用一个焦点到相应准线间的距离为

3

2

，渐近线方程为y=±

3

x，建立方程组，求得几何量，即可求得双曲线的方程；
（2）设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可得到结论．

解答：解：（1）由已知可得，

c- a2 c = 3 2 b a = 3 c2=a2+b2

，∴a=1，b=

3

∴双曲线W的方程为x2-

y2

3

=1；
（2）易知直线斜率存在，设AB的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线方程与双曲线方程联立，消去y可得（3-k²）x²-2kx-4=0
∴x₁+x₂=

2k

3-k2

，x₁x₂=

-4

3-k2

由

3-k2≠0 4k2+16(3-k2)＞0

，可得k²＜4且k²≠3
∵坐标原点O在以线段AB为直径的圆外，
∴

OA

•

OB

＞0
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=

3k2+1

k2-3

＞0
∴k²＞3
∴3＜k²＜4
∴直线l的斜率范围为（-2，-

3

）∪（

3

，2）．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．