Question

（2012•资阳二模）已知双曲线W：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点N（0，b），右顶点是M，且

MN

•

MF2

=-1，∠NMF₂=120°．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点Q（0，-2）的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点，若点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用

MN

•

MF2

=-1，可得

MN

•

MF2

=a²-ac=-1，根据∠NMF₂=120°，可得c=2a，由此可求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程代入双曲线方程，消去y，利用直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点，确定k的范围，根据点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，可得

HA

•

HB

＞0，由此可得得实数k的范围．

解答：解：（Ⅰ）由已知M（a，0），N（0，b），F₂（c，0），
∴

MN

•

MF2

=（-a，b）•（c-a，0）=a²-ac=-1，
∵∠NMF₂=120°，∴∠NMF₁=60°，∴b=

3

a，∴c²-a²=3a²，∴c=2a
∴a=1，b=

3

，
∴双曲线的方程为x2-

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）由题知，直线l的斜率存在且不为0，设为k（k≠0），直线l：y=kx-2，代入双曲线方程，消去y可得
（3-k²）x²+4kx-7=0，（6分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则

3-k2≠0 △＞0 - 4k 3-k2 ＞0 -7 3-k2 ＞0

，解得

3

＜k＜

7

．①（8分）
∵点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，则

HA

•

HB

＞0，（9分）
∴

HA

•

HB

=（x₁-7，y₁）•（x₂-7，y₂）=（1+k²）x₁x₂-（7+2k）（x₁+x₂）+53
=（1+k²）×

7

k2-3

-（7+2k）×

4k

k2-3

+53=

52k2-28k-152

k2-3

＞0
∴k＞2  ②（11分）
由①、②得实数k的范围是（2，

7

）．（12分）

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识的运用，属于中档题．