题目内容

已知双曲线W：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，其中一个焦点到相应准线间的距离为
3
2
，渐近线方程为y=±
3
x
（1）求双曲线W的方程
（2）过点Q（0，1）的直线l交双曲线W与A，B两个不同的点，若坐标原点O在以线段AB为直径的圆外，求直线l的斜率的取值范围．
（1）由已知可得，
c-
a2
c
=
3
2
b
a
=
3
c2=a2+b2
，∴a=1，b=
3

∴双曲线W的方程为x2-
y2
3
=1；
（2）易知直线斜率存在，设AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
直线方程与双曲线方程联立，消去y可得（3-k2）x2-2kx-4=0
∴x1+x2=
2k
3-k2
，x1x2=
-4
3-k2

由
3-k2≠0
4k2+16(3-k2)＞0
，可得k2＜4且k2≠3
∵坐标原点O在以线段AB为直径的圆外，
∴
OA
•
OB
＞0
∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=
3k2+1
k2-3
＞0
∴k2＞3
∴3＜k2＜4
∴直线l的斜率范围为（-2，-
3
）∪（
3
，2）．
练习册系列答案
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已知双曲线W：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，其中一个焦点到相应准线间的距离为
3
2
，渐近线方程为y=±
3
x
（1）求双曲线W的方程
（2）过点Q（0，1）的直线l交双曲线W与A，B两个不同的点，若坐标原点O在以线段AB为直径的圆外，求直线l的斜率的取值范围．
已知双曲线W：
x2
a2
-
y2
b2
=′1 (a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点N（0，b），右顶点是M，且
MN
•
MF2
=-1，∠NMF2=120°．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点Q（0，-2）的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．
（2012•资阳二模）已知双曲线W：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点N（0，b），右顶点是M，且
MN
•
MF2
=-1，∠NMF2=120°．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点Q（0，-2）的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点，若点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，求实数k的取值范围．
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的焦距为2
5
，抛物线y=
1
16
x2+1与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（　　）
A、
x2
8
-
y2
2
=1
B、
x2
2
-
y2
8
=1
C、x2-
y2
4
=1
D、
x2
4
-y2=1

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