Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，若AB=2，∠BAD=60°．则当四棱锥P-ABCD的体积等于2$\sqrt{3}$时，则PC=$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 根据菱形的性质求出底面积和AC，根据棱锥的体积计算PA，利用勾股定理计算PC．

解答 解：∵底面ABCD是菱形，若AB=2，∠BAD=60°．
∴S_菱形ABCD=2S_△ABD=2×$\frac{1}{2}×{2}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BC•cos120°}$=2$\sqrt{3}$
∵PA⊥平面ABCD，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{菱形ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×$2$\sqrt{3}$×PA=2$\sqrt{3}$，
∴PA=3．
∴PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{21}$．
故答案为：$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，属于基础题．