Question

2．在数列{a_n}中，若存在非零整数T，使得a_m+T=a_m对于任意的正整数m均成立，那么称数列{a_n}为周期数列，其中T叫做数列{a_n}的周期，若数列{x_n}满足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N），如x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），当数列{x_n}的周期最小时，该数列的前2016项的和为（　　）

• A． 672
• B． 673
• C． 1342
• D． 1344

Answer 1

分析 依题意可求得a=1，于是可求得x₁+x₂+x₃=2，x₄+x₅+x₆=2，…x₂₀₁₁+x₂₀₁₂+x₂₀₁₃=2，于是可得S₂₀₁₆的值．

解答 解：∵x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），x_n+1=|x_n-x_n-1|，
∴x₃=|a-1|，又数列{x_n}的周期为3，
∴x₄=|x₃-x₂|=||a-1|-a|=x₁=1，
解得：a=1或a=0，
∵a≠0，
∴a=1，
∴x₁=1，x₂=1，x₃=0；
即x₁+x₂+x₃=2；
同理可得，x₄=1，x₅=1，x₆=0，
x₄+x₅+x₆=2；
…
x₂₀₁₁+x₂₀₁₂+x₂₀₁₃=2．
x₂₀₁₄+x₂₀₁₅+x₂₀₁₆=2．
∴S₂₀₁₆=x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₆=672×（1+1+0）=1344．
故选：D．

点评 本题考查数列的求和，着重考查函数的周期性，得到相邻三项之和为2是关键，属于中档题．