Question

已知三条直线l₁:2x-y+a=0(a＞0)、直线l₂:-4x+2y+1=0和直线l₃:x+y-1=0,且l₁与l₂的距离是.

(1)求a的值；

(2)求l₃到l₁的角θ;

(3)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点；②P点到l₁的距离是P点到l₂的距离的；③P点到l₁的距离与P点到l₃的距离之比是∶.若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.

Answer 1

解：(1)l₂即2x-y-=0,

∴l₁与l₂的距离d==.

∴=.∴|a+|=.

∵a＞0,∴a=3.

(2)由(1),l₁即2x-y+3=0,∴k₁=2.

    而l₃的斜率k₃=-1,

∴tanθ==-3.

∵0≤θ＜π,

∴θ=π-arctan3.

(3)设点P(x₀,y₀),若P点满足条件②，则P点在与l₁、l₂平行的直线l′:2x-y+C=0上，

    且=·,

    即C=或C=.∴2x₀-y₀+=0

    或2x₀-y₀+=0;

    若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有·,

    即|2x₀-y₀+3|=|x₀+y₀-1|,

∴x₀-2y₀+4=0或3x₀+2=0.

    由P在第一象限,∴3x₀+2=0不可能.

    联立方程2x₀-y₀+=0和x₀-2y₀+4=0,解得应舍去.

    由解得

∴P(,)即为同时满足三个条件的点.